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注：本文作者是Gauntlet創(chuàng)始人Tarun Chitra、placeholder研究員Alex Evans以及斯坦福電氣工程博士Guillermo Angeris，原文標(biāo)題為《Can one hear the shape of a CFMM?(part 2)》

在本系列文章的第一篇，我們研究了恒定函數(shù)做市商（CFMM）的交易函數(shù)曲率是如何影響交易者行為的，我們還提到了我們將發(fā)布的論文《狗尾巴什么時(shí)候搖？曲率與做市》，其中會(huì)說(shuō)明價(jià)格穩(wěn)定性與曲率的關(guān)系?；叵胍幌拢钦降卣f(shuō)，CFMM交易函數(shù)的曲率描述了CFMM在一筆小交易后的報(bào)價(jià)絕對(duì)變化。當(dāng)CFMM是主要市場(chǎng)時(shí)，一筆交易對(duì)相同資產(chǎn)的次級(jí)市場(chǎng)的影響，取決于兩個(gè)市場(chǎng)的曲率比率。這說(shuō)明了一個(gè)觀點(diǎn)，即市場(chǎng)之間的價(jià)格穩(wěn)定性與市場(chǎng)的曲率密切相關(guān)。而一個(gè)自然的問(wèn)題是：為什么理性的流動(dòng)性提供者（LP）選擇將流動(dòng)性放在主要市場(chǎng)或者次級(jí)市場(chǎng)？或者，他們是如何比較這些市場(chǎng)的回報(bào)的？

在這篇文章中，我們將著重從兩個(gè)角度回答這些問(wèn)題：

1. 證明LP在均值回歸資產(chǎn)對(duì)的情況下能夠獲得最大的利潤(rùn)；

2. 在交易者掌握信息的情況下，衡量LP面臨的逆向選擇;

第二種情況下的LP收益，類(lèi)似于Albert Kyle、Lawrence Glosten以及Paul Milgrom（2020年諾貝爾紀(jì)念獎(jiǎng)得主）的經(jīng)典市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)結(jié)果。我們將證明，LP收益的這兩個(gè)方面都與曲率密切相關(guān)。

1

均值回歸是最佳的

對(duì)于給定的價(jià)格變動(dòng)，較低曲率的CFMM將給LP帶來(lái)更大的損失。

同時(shí)，較低的曲率提供了較低的滑點(diǎn)，從而吸引更多的交易者和手續(xù)費(fèi)收入。研究無(wú)常損失與費(fèi)用之間的權(quán)衡，可以讓LP優(yōu)化其回報(bào)。而最優(yōu)曲率將取決于市場(chǎng)的行為。在這里，我們可以選擇兩種模型：一種是對(duì)獨(dú)立于市場(chǎng)機(jī)制的外部?jī)r(jià)格過(guò)程進(jìn)行建模，另一種是直接對(duì)基礎(chǔ)市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模。

就前者而言，該過(guò)程的相關(guān)特征是相關(guān)性、波動(dòng)性以及均值回歸。

對(duì)于均值回歸資產(chǎn)，“收益率最優(yōu)”曲率通常較低。CFMM流動(dòng)性提供者從均值回歸中獲利，因?yàn)閮?chǔ)備金恢復(fù)到了以前的水平，而費(fèi)用則是雙向累積的。在強(qiáng)均值回歸資產(chǎn)的情況下，無(wú)常損失的風(fēng)險(xiǎn)較低，流動(dòng)性提供者（LP）可以提供較低的曲率來(lái)吸引交易者。最知名的例子就是Curve，其穩(wěn)定幣通常在1美元的價(jià)格附近徘徊，套利者很快就會(huì)糾正偏離這些水平的情況。因此，Curve提供了一種超低曲率的CFMM，它比Uniswap等同等的高曲率池吸引了更多的交易興趣。只要穩(wěn)定幣繼續(xù)回歸至美元價(jià)值的平均值，Curve LP的表現(xiàn)將優(yōu)于其它高曲率CFMM的LP。在我們的論文中，我們證明了一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié)果，即對(duì)于均值回歸資產(chǎn)，要讓LP獲益，協(xié)議需收取的費(fèi)用取決于曲率：

對(duì)于正的常數(shù)C > 0。

很多協(xié)議具有隨時(shí)間變化的交易函數(shù)。在下面，我們看到了Yield協(xié)議（左）和Notional協(xié)議（右）的邊際價(jià)格函數(shù)。

這兩個(gè)協(xié)議旨在提供固定利率貸款并有效利用CFMM的曲率來(lái)控制用戶(hù)的激勵(lì)。在時(shí)間t，這些系統(tǒng)的用戶(hù)有效地創(chuàng)建了在時(shí)間t + T到期的固定利率，零息債券。用戶(hù)創(chuàng)建債券時(shí)，他們以低于1債券/ 1 Dai的價(jià)格鑄造債券。用戶(hù)可以在CFMM市場(chǎng)上用Dai交易債券，而Dai面臨的滑點(diǎn)反映了提前贖回的成本。

這類(lèi)似于在傳統(tǒng)的回購(gòu)協(xié)議市場(chǎng)中提前贖回債券。當(dāng)我們接近時(shí)間t + T時(shí)，CFMM曲率會(huì)降低，從而激勵(lì)用戶(hù)關(guān)閉其債券（例如，將其交易為Dai）。到期時(shí)，該CFMM沒(méi)有曲率，這意味著用戶(hù)可以用1:1的比例兌換Dai。請(qǐng)注意，隨著我們?cè)絹?lái)越接近到期日，這些CFMM的設(shè)計(jì)會(huì)鼓勵(lì)均值回歸（例如，達(dá)到1：1）。以上我們的結(jié)果表明，在設(shè)計(jì)這種機(jī)制時(shí)，還需要調(diào)整費(fèi)用，以確保LP有利可圖。

2

市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)

描述LP收益的另一種方法，是考慮LP、套利者和知情交易者之間博弈的預(yù)期利潤(rùn)。為了構(gòu)建我們的游戲，我們首先從傳統(tǒng)的市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)文獻(xiàn)中汲取靈感。在這些文獻(xiàn)中，比如 Kyle的連續(xù)拍賣(mài)和內(nèi)幕交易（1985），考慮了做市商與噪音和知情交易者之間的博弈。

在這些模型中，假設(shè)每個(gè)參與者都有一個(gè)策略來(lái)提供他們?cè)敢饨灰椎膬r(jià)格和數(shù)量。例如，知情交易者可能知道某項(xiàng)資產(chǎn)的每股收益在上升，并積極買(mǎi)入，直到新的市盈率與原來(lái)的相同。另一方面，做市商有一個(gè)策略來(lái)產(chǎn)生他們?cè)敢庠谟唵沃袌?bào)價(jià)的價(jià)格和數(shù)量，而噪音交易者購(gòu)買(mǎi)的是完全隨機(jī)的數(shù)量。在給定一組市場(chǎng)參與者策略的情況下，我們?cè)噲D找出是否存在市場(chǎng)均衡，如果存在，我們是否可以計(jì)算它。

一般來(lái)說(shuō)，由于計(jì)算復(fù)雜性和統(tǒng)計(jì)原因，在多人游戲中計(jì)算精確的均衡是相當(dāng)困難的。然而，通過(guò)研究一個(gè)簡(jiǎn)化的博弈，我們可以獲得足夠的直覺(jué)來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)可估計(jì)現(xiàn)實(shí)均衡的數(shù)值模擬。這正是Kyle (1985) 和Glosten以及Milgrom (1984)考慮的只有三個(gè)參與者的博弈游戲。

在這些博弈中，通常通過(guò)對(duì)做市商實(shí)施零利潤(rùn)條件（一種無(wú)套利的弱形式）來(lái)實(shí)現(xiàn)均衡。零利潤(rùn)條件有效地代表了做市商的“收支平衡”點(diǎn)，并且是所收取的費(fèi)用和知情交易者的信息優(yōu)勢(shì)的函數(shù)。

例如，如果知情交易者的信息優(yōu)勢(shì)較弱，那他們的交易看起來(lái)會(huì)像是“噪音”，而做市商則通過(guò)反復(fù)地跨越買(mǎi)/賣(mài)價(jià)差而賺錢(qián)，且價(jià)格看起來(lái)是弱均值回歸的。另一方面，如果知情交易員是無(wú)所不知的，并且總是提前知道未來(lái)的價(jià)格變動(dòng)，那么做市商需要更大的費(fèi)用和更大的買(mǎi)賣(mài)差價(jià)以補(bǔ)償不利于他們的交易。

在這種情況下，我們說(shuō)做市商受知情交易者逆向選擇的影響。實(shí)際上，做市商通過(guò)降低市場(chǎng)流動(dòng)性來(lái)應(yīng)對(duì)逆向選擇的增加。Glosten（1994）指出，當(dāng)你考慮那些在多個(gè)市場(chǎng)上報(bào)價(jià)的做市商時(shí)，訂單簿的形狀會(huì)影響流動(dòng)性如何因逆向選擇而變化。在下圖中，我們看到一個(gè)訂單簿有兩個(gè)不同的形狀，一個(gè)近似凹形和一種凸形。Glosten指出，對(duì)于流動(dòng)性大、交易速度低的情況，凹形更好，而對(duì)于許多小訂單和高交易速度的情況，凸形更好。

而據(jù)伯克利大學(xué)的Jun Aoyogi在最近的研究表明，通過(guò)考慮LP和知情交易者之間的一個(gè)簡(jiǎn)單的單周期博弈，可以為Uniswap找到與Kyle（1985）類(lèi)似的結(jié)果。

他特別指出，只有在噪聲交易者與Uniswap進(jìn)行交易，并且費(fèi)用能正確補(bǔ)償噪聲交易者造成的波動(dòng)，LP才可能賺錢(qián)。此外，他還說(shuō)明了價(jià)格穩(wěn)定的結(jié)果（類(lèi)似于我們?cè)诘谝黄恼轮薪榻B的內(nèi)容）。但是，這些結(jié)果在很大程度上取決于Uniswap恒定乘積公式的簡(jiǎn)單函數(shù)形式。此外，這些結(jié)果未涵蓋補(bǔ)償逆向選擇所需的費(fèi)用的精確范圍。對(duì)于其他CFMM，我們能否以更一般的方式將費(fèi)用和逆向選擇聯(lián)系起來(lái)？

為此，我們?cè)谔桌摺⒅榻灰渍吆蚅P之間構(gòu)建了一個(gè)不同的博弈。我們首先將知情交易者定義為在時(shí)間t時(shí)，知道資產(chǎn)價(jià)格在時(shí)間t+1, p(t+1)時(shí)的概率? > ? 的參與者。

我們將知情交易者對(duì)p（t+1）的預(yù)測(cè)寫(xiě)成p_inf（t）。我們可想象成這是一個(gè)知情交易者在拋出一枚硬幣，硬幣正面落地的概率為?，反面落地的概率為1-?。如果是正面的，交易者會(huì)正確選擇下一個(gè)價(jià)格。這個(gè)有洞察力的參與者在時(shí)間t與CFMM交易，在時(shí)間t+1時(shí)以概率?實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)。另一方面，如果知情交易者輸了，價(jià)格會(huì)恢復(fù)到時(shí)間t時(shí)的價(jià)值。示意圖如下所示：

注意，當(dāng)知情交易者虧損時(shí)，價(jià)格從p（t）變?yōu)?code>p_inf（t），再回到p（t）。在這種“往返”交易序列中，流動(dòng)性提供者獲得的利潤(rùn)是費(fèi)用和CFMM曲率的函數(shù)。這意味著我們可以查看流動(dòng)性提供者的預(yù)期利潤(rùn)，PNL(curvature, fees) = ? * Loss(curvature, fees) + (1-?) * Profit(curvature, fees)。我們使用此預(yù)期利潤(rùn)條件查找當(dāng)PNL(curvature, fees) > 0時(shí)的充分條件，并發(fā)現(xiàn)對(duì)于某些常數(shù)C> 0

這意味著，如果知情交易者是無(wú)所不知的（?=1）或費(fèi)用為零，那么任何曲率都無(wú)法補(bǔ)償LP的損失。另一方面，如果知情交易者基本上是一個(gè)噪音交易者（?≈?），則曲率可以較低，以使LP獲利。

這一結(jié)果說(shuō)明，與CFMM設(shè)計(jì)領(lǐng)域的常識(shí)不同，人們不僅需要獲得最佳費(fèi)用來(lái)最大化LP回報(bào)，而且還需要調(diào)整曲率。我們?cè)诂F(xiàn)實(shí)情況中看到了許多這樣的例子，例如Dodo和McDEX這樣的保護(hù)性做市商加入了一個(gè)預(yù)言機(jī)，以響應(yīng)主要市場(chǎng)（例如Uniswap或Coinbase）的交易來(lái)調(diào)整曲率。在Shell協(xié)議中，費(fèi)用與曲率之間的關(guān)系是直接的，一旦穩(wěn)定幣儲(chǔ)備偏離目標(biāo)權(quán)重，則通過(guò)動(dòng)態(tài)費(fèi)用函數(shù)將曲率引入交易函數(shù)中。

在下圖中，我們看到了這些協(xié)議如何根據(jù)交易活動(dòng)調(diào)整其交易函數(shù)曲率的示意圖。這有效通過(guò)增加了對(duì)知情交易的反應(yīng)曲率，來(lái)減少逆向選擇。目前，大多數(shù)曲率調(diào)整都是外生的，這需要一個(gè)外部預(yù)言機(jī)來(lái)觸發(fā)曲線(xiàn)變化。

Dodo的協(xié)議根據(jù)中間價(jià)格預(yù)言機(jī)來(lái)調(diào)整曲率

此外，這也告訴我們，活躍且具有低曲率CFMM的市場(chǎng)（例如Curve）往往有較少的知情交易。這符合這樣一種直覺(jué)，即用一種穩(wěn)定幣兌換另一種穩(wěn)定幣的交易者，對(duì)未來(lái)價(jià)格的有用信息較少。

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未來(lái)的CFMM設(shè)計(jì)

這告訴了我們?cè)撊绾卧O(shè)計(jì)CFMM？首先，通過(guò)設(shè)計(jì)CFMM的交易函數(shù)，可使用預(yù)言機(jī)糾正曲率來(lái)進(jìn)行改進(jìn)。做市商可以有一個(gè)動(dòng)態(tài)更新的交易函數(shù)，對(duì)交易作出反應(yīng)，以減少LP的無(wú)常損失。更新規(guī)則可以是純內(nèi)生的（與使用預(yù)言機(jī)的設(shè)計(jì)不同）和簡(jiǎn)單的控制機(jī)制（類(lèi)似于DeFi-PID控制器，請(qǐng)參閱我們之前撰寫(xiě)的關(guān)于這一主題的文章）。類(lèi)似的，CFMM曲率的梯度流（例如，類(lèi)似于著名的Ricci流）可用于自然壓平由于高滑點(diǎn)而交易量較低的區(qū)域。

不幸的是，無(wú)法通過(guò)分析來(lái)設(shè)計(jì)此類(lèi)CFMM。這需要通過(guò)模擬具有不同數(shù)量信息，以及與LP互動(dòng)的策略的多個(gè)agent代理來(lái)設(shè)計(jì)這種形式的實(shí)用CFMM。此外，如果我們看到在高頻交易中經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)的復(fù)雜性，那么我們應(yīng)期望動(dòng)態(tài)LP策略將成為未來(lái)的規(guī)范。這些策略對(duì)曲率和逆向選擇的影響，也需要通過(guò)基于agent的模型進(jìn)行建模。

我們要感謝James Prestwich 和Ciamac Moallemi提供的寶貴意見(jiàn)和建議。