作者：王嘉昊 劉秋杉

來源：比原鏈研究院

前言 ——《AMM終極筆記》是對諸多代表性 AMM 項(xiàng)目和相關(guān)論文進(jìn)行的一項(xiàng)綜述（survey），由于 AMM 所涉及層面較為廣泛，本文選取我們認(rèn)為最能代表 AMM 本質(zhì)特征以及未來發(fā)展方向的無常損失進(jìn)行講解。

注：AMM（Automated Market Maker），自動化做市商，以基本數(shù)學(xué)曲線定義加密貨幣交易對的供需曲線，基于智能合約的全天候無人值守，重新定義了 DEX 的基本形態(tài)，代表項(xiàng)目 Uniswap。

大家最為關(guān)心的無常損失是一個難題，不可解，但存在優(yōu)化的方法。

從簡單的角度來說，無常損失就是當(dāng)場外（AMM 資金池外的主流交易市場）代幣 A 相對于代幣 B 的匯率上漲時，套利交易者會從場外籌集代幣 B，并轉(zhuǎn)移到 AMM 資金池，以相對于場外更優(yōu)惠的匯率換得更多的代幣 A，從而實(shí)現(xiàn)無風(fēng)險套利。而這部分利潤也是資金池（LP）的損失，可以稱之為無常損失（臨時損失），因?yàn)橐坏﹨R率又重新回到原始位置，將再次創(chuàng)**向套利空間（對稱的），整體池子的資產(chǎn)數(shù)量將回歸到原始狀態(tài)，LP 們無損失，但因?yàn)樾星榈膬纱巫兓?，也因此造福了兩次套利者利潤，這個利潤空間就不再來自于 LP 的財富，而是市場機(jī)會，是只有精明的套利者不斷盯市場贏得的機(jī)會。從這個角度看，無常損失是精明的套利者和懷揣大局意識的 LP 之間博弈均衡的結(jié)果，套利者也極大地活躍了 AMM 交易市場，尤其是當(dāng)有非常多的套利者開始意識到此處的機(jī)會并開始競爭套利。

從一般性的角度定義無常損失，即無常損失只看交易對匯率是否發(fā)生變化，一旦發(fā)生變動，便產(chǎn)生客觀的無常損失，與是漲是跌無關(guān)，一旦匯率回歸，損失自動消失。這意味著，只有當(dāng)流動性提供者（LP）在與最初使用的價格情況不同的情況下移除流動性時，才會出現(xiàn)無常損失。如果不移除，而等待一個更有機(jī)會的時機(jī)撤出，損失就不會發(fā)生。作為對比，在傳統(tǒng)金融上，我們可以認(rèn)為這是一個 "賣出永續(xù)跨期 "的頭寸。之所以說是永續(xù)，是因?yàn)檫@個頭寸沒有到期日，LP 可以持有多久就持有多久。

另外要著重提到的一點(diǎn)，也是如今很多玩家都未意識到的一個方面，無常損失雖然理論上是無上限的，但基于比特幣等大行情的變動總是有所范圍的假設(shè)，無常損失也是有可計(jì)算的上限，例如交易對 BTC/USDT 中 BTC 從 20000 USDT 漲到 60000 USDT，留給套利者的無常損失空間也不會超過 13%，即 LP 無常損失控制在 13%（無常損失計(jì)算器：https://yieldfarmingtools.com/tools）。

此外，無常損失是一種貪婪心理，我們總是愛將現(xiàn)實(shí)和假如做對比，還是看 BTC/USDT 交易對，在 BTC 上漲后，本質(zhì)上不論怎么無常損失，LP 的財富總是法幣增值的，然而人們往往愛跟假如做對比，會想“假如自己當(dāng)初在 20000 USDT 的時候一直持有這么多 BTC 而不去參與 AMM 賣掉該多好”，但實(shí)際上很多 LP 是因?yàn)?AMM 才開始組建自己的資產(chǎn)配置，去購買 BTC，去構(gòu)建交易對，因此大多數(shù) LP 財富增值的機(jī)會正是來自于 AMM 這種集儲蓄利息與基金組合功能于一身的特定場景，如果總是抱著貪婪的心態(tài)去看待問題，那么可以肯定任何金融市場均不存在只有收益沒有風(fēng)險的路徑。

附： 以下為模擬交易：（1）當(dāng) 1 ETH = 500 USDT，做市商存入 10 ETH 和 5000 USDT。他的總資產(chǎn)價值是10000 USDT。（2）當(dāng) 1 ETH = 550 USDT，這個時候就存在套利的空間，在 AMM 機(jī)制下，做市商池就會自動向套利者賣出 ETH 換取 USDT，因此，目前流動性池中資產(chǎn)變?yōu)?9.53 個 ETH 和 5244 個 USDT，對應(yīng)的 ETH 的價格為 550 USDT，總資產(chǎn)價值是 10488 USDT。（3）如果不去做市，USDT 本位的價值為 10500，這便產(chǎn)生了相對的 12 USDT 無常損失。 相反的，（a）當(dāng)價格下跌 1 ETH = 450 USDT 時，套利者會向池子注入 ETH 來換取有利潤空間的 USDT，直到 ETH 的場內(nèi)價格與市場價相同，因此做市商的流動池就變?yōu)?10.54 ETH 和 4743 USDT，總資產(chǎn)價值是 9486 USDT。（b）如果不進(jìn)行做市活動，總資產(chǎn)價值是 9500 USDT。相對來看整體資產(chǎn)貶值了 500 USDT，進(jìn)行做市額外還損失 14 USDT。 從實(shí)際例子中不難看出不論價格漲跌，在AMM機(jī)制下，流動性供應(yīng)商的反向操作都會造成一定的無常損失。

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動態(tài)權(quán)重的恒定加權(quán)幾何平均函數(shù)

此類解決方案以 Bancor V2 為代表項(xiàng)目。最原始的靈感是 Balancer 為 AMM 引入了恒定幾何加權(quán)平均的函數(shù)：

本質(zhì)跟 Uniswap 的恒定乘積類似，但賦予了每一項(xiàng)指數(shù)（權(quán)重）的概念，也因此擁有更靈活的曲線形態(tài)。也是 Balancer 第一次在一篇文章（Interest-Bearing Stablecoin Pools Without Impermanent Loss https://medium.com/balancer-protocol/zero-impermanent-loss-stablecoin-pool-with-lending-interests-a3da6d8bb782）中提到了可以通過動態(tài)更新權(quán)重項(xiàng)來從根源上阻止無常損失的發(fā)生，而 Bancor V2 則對此方案進(jìn)行了更通用細(xì)致的數(shù)學(xué)描述（Calculating Dynamic Reserve Weights in Bancor V2 https://blog.bancor.network/calculating-dynamic-reserve-weights-in-bancorv2-538b901bcac4）（pdf 版本 https://drive.google.com/file/d/1lYsaUi5du7BdP5eXgVJX60POcg2UkBfZ/view）。

細(xì)致的數(shù)學(xué)描述這里不展開講解，由于篇幅限制本文只進(jìn)行原理概要。如果權(quán)重項(xiàng)不變的話，可以將曲線形態(tài)看成跟 Uniswap 一樣。如果不斷變化權(quán)重，曲線將會繞著曲線上的某一個點(diǎn)在不斷旋轉(zhuǎn)，使得旋轉(zhuǎn)后的曲線在該點(diǎn)的切線斜率（即匯率）與最新的市場價格保持一致，而促進(jìn)這個旋轉(zhuǎn)計(jì)算的便是來自外部市場價的預(yù)言機(jī)驅(qū)動，通過為 AMM 更新每一刻最新的市場價，反推權(quán)重項(xiàng)的計(jì)算，以使當(dāng)前點(diǎn)（池子兩資產(chǎn)數(shù)量組成的點(diǎn)）在新曲線的切線斜率不斷隨市場變化，進(jìn)而不創(chuàng)造套利空間。形象的計(jì)算如下：

雖然此類解決問題的方法是非常本質(zhì)的，但缺陷也是十分明顯且隱患巨大。一個本來可以完全自動應(yīng)對市場的 AMM 需要單點(diǎn)依賴一個外部預(yù)言機(jī)，一旦預(yù)言機(jī)出現(xiàn)問題，即便是很小的問題，也會給 AMM 帶來巨大的套利攻擊損失，這種損失不同于無常損失，是切切實(shí)實(shí)的用戶損失，也會給以后 AMM 的商業(yè)擴(kuò)大帶來根本阻力。另外，此類 AMM 將徹底失去市場定價權(quán)，即放棄了自己成為 Primary Market，我們都知道隨著 DeFi 等的崛起，越來越多有價值的新資產(chǎn)都選擇 DEX 作為自己的 Primary Market，反而那些中心化的主流交易所成了 Secondary Market。

除了 Bancor V2，國產(chǎn)項(xiàng)目 DODO 也有著類似的方式，雖然 DODO 并未采用恒定加權(quán)幾何平均函數(shù)，而是采用了一種類似 Curve 的混合構(gòu)造函數(shù)，但本質(zhì)都是依賴一個外部預(yù)言機(jī)，來不斷更改【定價/交易】曲線的形態(tài)，使得新曲線的報價結(jié)果與外部市場緊密跟隨。

如果一個系統(tǒng)只依賴自己，那么它的安全邊界就是自己，是可以計(jì)算的；如果一個系統(tǒng)依賴了外部因子，它的安全邊界理論上是不可估算的，如同一個拜占庭分布式系統(tǒng)一樣，沒有任何經(jīng)驗(yàn)觀察甚至形式化數(shù)學(xué)可以估算覆蓋到所有潛在 fault（故障）路徑。

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虛擬余額限制套路路徑

此類僅存在于 Mooniswap。與 Bancor V2 和 DODO 解決問題的思維不同，Mooniswap 并未改變 AMM 的最大本質(zhì)（自動自主定價），與 Uniswap 只能眼睜睜看著套利者來吃肉不同，當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)套利空間時，Mooniswap 會自動根據(jù)偏移量逐次構(gòu)建多條虛擬的曲線，使得套利交易者只能吸收到每一條虛擬曲線所規(guī)定的套利上限，而不再是一次性在原始曲線上完成大量套利。

如下圖，初始平衡點(diǎn)在 A，一筆交易使得系統(tǒng)處于 X 點(diǎn)，此時便產(chǎn)生了套利空間，在 Uniswap 這種傳統(tǒng) AMM 中，任何聰明的套利者都可以通過一筆交易一次性地拉回到 A 點(diǎn)，而這個過程往往伴隨著可觀的利潤。Mooniswap 的虛擬構(gòu)造法便是陸續(xù)構(gòu)建了上面三條 AMM 曲線，首先給套利者呈現(xiàn)的是下圖第二條曲線 BC，套利者的套利路徑僅僅只有 B 到 C 的短暫過程，當(dāng)該套利者到達(dá) C 點(diǎn)后，系統(tǒng)便放出第二條虛擬曲線 DE，同理，給套利者呈現(xiàn) D 到 E 的套利路徑，在第二個套利者到達(dá) E 點(diǎn)后，系統(tǒng)放出最后一條曲線，也是最終要更迭到的實(shí)際曲線 ZQ，最后一位套利者從 Z 到 Q 完成套利，最終系統(tǒng)曲線變?yōu)?ZQ，且平衡點(diǎn)為 Q。通過者一系列虛擬構(gòu)造，即便三次加起來的套利空間也遠(yuǎn)小于傳統(tǒng) AMM 曲線一次套利路徑，而且在這個過程中套利者也為資金池注入了更多的資產(chǎn)，使得池子規(guī)模變大，也充當(dāng)了 LP，曲線向右上偏移。

對于具體的點(diǎn)位計(jì)算和數(shù)學(xué)證明，請?jiān)斠?Mooniswap 白皮書（Mooniswap https://mooniswap.exchange/docs/MooniswapWhitePaper-v1.0.pdf）。

此類方法缺點(diǎn)，需要仔細(xì)判別套利機(jī)會的出現(xiàn)，一定程度上也需要依賴外部因子；而且虛擬量縮短套利路徑的過程需要動態(tài)構(gòu)建大量曲線，對于高并發(fā)的系統(tǒng)，此類方法在工程上過于復(fù)雜，引入太多不確定性。

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無限網(wǎng)格策略做市

以比原鏈 MOV 超導(dǎo) V2 提出的基于無限網(wǎng)格策略的 AMM 算法為例（暫未實(shí)現(xiàn)）。這種解決方案并未直接去關(guān)注無常損失的發(fā)生（如前第一類），也未去針對無常損失的始作俑者套利者（第二類），它是在以一種基金經(jīng)理的角色在管理 LP 的財富，不希望只通過儲蓄利息（手續(xù)費(fèi)）讓 LP 財富增值，更是希望可以在專業(yè)基金策略的作用下充分利用好 LP 巨大的財富池，跟隨市場大勢，獲得基金式的財富增值。其中，無限網(wǎng)格策略是 MOV 超導(dǎo) V2 所選擇的方向，并將其在 AMM 上實(shí)現(xiàn)，雖然還有很多不足，但如下大致給出了構(gòu)建思路。

如上圖，超導(dǎo) V2 在原有恒定乘積曲線做市商機(jī)制的基礎(chǔ)上進(jìn)一步分段構(gòu)造出了不同形態(tài)的曲線形態(tài)，以滿足無限網(wǎng)格的基本定義——“分段買入賣出，即便在市場最高點(diǎn)時也有現(xiàn)貨可以賣出，在市場最低點(diǎn)時也能完成建倉操作”。超導(dǎo) V2 通過上面四種分段函數(shù)的構(gòu)造，希望可以實(shí)現(xiàn)——“在行情上漲時，能夠適當(dāng)出貨 BTC，但不要大量出貨，逐步逐量，既能夠幫 LP 在達(dá)到最高點(diǎn)前守住 BTC，也能夠在上漲行情中智能化的賣出適當(dāng)數(shù)量 BTC，以應(yīng)對潛在的大跌風(fēng)險；在行情下跌時，HOLD，以上漲時積累的 USDT 財富獲得財富增值”。

在具體函數(shù)構(gòu)造和實(shí)現(xiàn)原理上，可以對照上圖看如下圖例。早在 2020 年 8 月份（BTC 11000 刀，超導(dǎo) V2 理論剛剛誕生時），當(dāng)時的超導(dǎo) V2 設(shè)計(jì)者就預(yù)計(jì)未來可能會達(dá)到一個 40000 刀至 100000 刀的一個牛市行情，因此做了如上四個分段預(yù)測。在第一段中，超導(dǎo)函數(shù)為非常普通的恒定乘積曲線，執(zhí)行簡單的 AMM 倉位策略，在達(dá)到 40000 刀時，函數(shù)自動觸發(fā)切換為混合構(gòu)造函數(shù)曲線，這是一種曲率更低的曲線，可以大幅度改變 BTC 倉位，在 40000 ～ 100000 范圍，如果判斷本輪最高點(diǎn)可能到 100000 刀，則在 100000 刀處再次設(shè)置函數(shù)切換點(diǎn)，變?yōu)榉浅６盖偷碾p曲線，可以幫助 LP 在行情回落過程中不會重新將高點(diǎn)套現(xiàn)的 USDT 再還回去。具體數(shù)據(jù)可以見下圖。

這種解決方案的優(yōu)勢是一旦策略預(yù)測成功，不僅可以解決無常損失，還可以大幅度幫助 LP 獲得基金級別的財富增值，這是市面上任何 AMM 都給不了的，即便是有流動性挖礦加持。而且這種策略不依賴任何外部因子，只依賴自身策略，因此不會引入其他風(fēng)險，即便是后市行情不如所愿，也可以提前更改下一個函數(shù)切換點(diǎn)，及時改變下一段函數(shù)形態(tài)，避免大規(guī)模損失。缺陷也是十分明顯的，即需要非常專業(yè)的基金經(jīng)理預(yù)判和策略，需要能夠預(yù)測好較大范圍的后市行情，而且分段函數(shù)的構(gòu)造十分復(fù)雜，超導(dǎo) V2 在構(gòu)建自身策略時，其實(shí)是有更好的函數(shù)構(gòu)造，但迫于數(shù)學(xué)形態(tài)過于復(fù)雜且工程實(shí)現(xiàn)困難，便選擇了如上實(shí)現(xiàn)案例，也是一種折中辦法。

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經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償

這一類是最為大家熟悉的方法，即以自身代幣的形式為 LP 補(bǔ)償損失，包括 Bancor V2.1 和流動性挖礦兩種形式。

Bancor V2.1 是在 Bancor 意識到 Bancor V2（如上第一類）無法解決無常損失而且會帶來預(yù)言機(jī)系統(tǒng)風(fēng)險之后重新制定的無常損失方案，這種方**從系統(tǒng)層面記錄每一個 LP 初始做市時的倉位，在無常損失發(fā)生后，會通過系統(tǒng)增發(fā) Bancor 代幣來補(bǔ)償無常損失。

流動性挖礦也是異曲同工，不過 Bancor V2.1 的補(bǔ)償更為精細(xì)，有多少損失便補(bǔ)貼多少自身代幣。而市面上的流動性挖礦，多則 APY 可達(dá)幾十倍，少則也有兩三倍，是一場瘋狂的造富運(yùn)動，即便是 LP 參與了一個月，所獲得的挖礦財富也足夠其應(yīng)對無常損失的任何上限。

因此流動性挖礦如果可以做好“善后”工作，也未嘗不是一種根本性的無常損失解決方案。

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期權(quán)對沖

也叫 Hedge，這一類研究非常稀少，幾乎不見于任何市面上的項(xiàng)目，之前火幣研究院有過一篇專門的報告（AMM做市無常損失對沖分析系列一：損益及期權(quán)對沖模型構(gòu)建 https://zhuanlan.zhihu.com/p/260141168）?；饚叛芯吭旱奈恼抡撟C了通過看跌期權(quán)來補(bǔ)償無常損失的基本結(jié)論，并給出了具體數(shù)量和位置指導(dǎo)，一定程度上是可以明顯起到緩解無常損失的作用，見下圖。

后來我們也發(fā)掘了幾篇非常好的行業(yè)論文，尤其是 Placeholder 的研究員 Alex Evans 的研究工作（論文 When does the tail wag the dog? Curvature and market making 和論文 Liquidity Provider Returns in Geometric Mean Markets）十分突出，我們也在此對其進(jìn)行簡單解讀。

在傳統(tǒng)金融理論中，動態(tài)套期保值是機(jī)構(gòu)投資者利用股指期貨或股票與無風(fēng)險資產(chǎn)創(chuàng)造合成的看跌期權(quán)并通過使用合成看跌期權(quán)策略尋求保護(hù)投資組合價值的策略。而在 CFMM 機(jī)制下，有人提出可以類比資產(chǎn)的 Delta 值（δ）和 Gamma（γ）值來規(guī)避高額 LP 風(fēng)險。接下來我們將會計(jì)算 LP 的動態(tài)對沖數(shù)量，并展示它們?nèi)绾卧诮灰字斜憩F(xiàn)良好。通過以下的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，我們還可以看出動態(tài)對沖數(shù)量和曲率之間的關(guān)系。

儲備的投資組合價值其中 m 為市場價格，R 和 R’ 儲備金數(shù)額，則我們可以得到 。

如何證明此等式的正確性? 函數(shù) ψ 只與 R 和 R’ 有關(guān)，在無套利的情況下，市場價格 m 滿足。則等式滿足函數(shù) ψ 對市場價 m 求一階導(dǎo)為零，帶入得：

整理即得：

在 Joseph Clark 所著的論文《The replicating portfolio of a constant product market》中，他提出了用帶 CPM 收益的歐式期權(quán)來提高 LP 的收益。在他看來，LP 根據(jù)新的資產(chǎn)比例得到的一定比例的交易費(fèi)用可以被精確復(fù)制與期貨和期權(quán)的靜態(tài)組合。如果這些期貨和期權(quán)存在并且是可交易的，每千次展示費(fèi)用收取的交易費(fèi)用將由期權(quán)價格決定和預(yù)期的交易量。如果期貨和期權(quán)不存在，則 CPM 的收益可以用來創(chuàng)建它們。

我們可以詳細(xì)討論下在 CPM 模式下的收益以及最終組合投資的總收益。

我們假定當(dāng)前市場價為 ，則此時準(zhǔn)備金可以表示為。那么在時間 t 內(nèi)我們得到的組合投資凈利潤為  。顯然，我們可以得到最終投資的總收益為。

當(dāng)然，我們還有另外一種思路，就是研究在 CPM 模式之下復(fù)制歐洲看漲期權(quán)對 LP 的收益，跟前文說的組合收益不同，這種期權(quán)不是靜態(tài)的，但是它可以做到在有限的套期保值下保持精確。仿照期權(quán) Greeks，Joseph Clark 給出了在 CPM 模式之下，影響期權(quán)價格的各項(xiàng)指標(biāo)：

復(fù)制期權(quán)的總回報等于CPM收益和期貨的原有收益相加：

綜上我們不難看出，Joseph Clark 認(rèn)為可以用靜態(tài)資產(chǎn)組合來對沖 LP 的風(fēng)險損失，而動態(tài)對沖數(shù)量和曲率有密切聯(lián)系。若期權(quán)和期貨不可交易，那么 CPM 帶來的收益也可以作為復(fù)制期權(quán)的備選項(xiàng)。

未完待續(xù)

我們還有很多課題和最新研究成果與大家分享，包括

（1）LP 終極收益的數(shù)學(xué)公式表達(dá)以及影響 LP 收益的最本質(zhì)因子，其實(shí)都可以通過公式論證出來，以幫助 AMM 產(chǎn)品更好的進(jìn)行迭代改進(jìn)，例如影響 LP 收益的有曲率、informed trading 等；

（2）流動性挖礦（Yield Farming）的真正使命，除了補(bǔ)償無常損失外，還可以起到非常好的 AMM 項(xiàng)目自身原始代幣的發(fā)行以及代幣價格穩(wěn)定的作用，我們認(rèn)為通過流動性挖礦發(fā)行的自身代幣價格，不會存在死亡螺旋的現(xiàn)象，反而會造就項(xiàng)目市值的一個強(qiáng)支撐，當(dāng)然前提是該項(xiàng)目是非常有人氣有口碑的項(xiàng)目，此外，流動性挖礦的具體補(bǔ)貼數(shù)值也存在數(shù)學(xué)表達(dá)和影響因子；

（3）AMM 項(xiàng)目在未來會都向著動態(tài) AMM 形態(tài)發(fā)展，即不再局限于一條曲線形態(tài)，會根據(jù)不同的情境輔助以多種曲線形態(tài)；曲率是一個被大大忽略的曲線研究領(lǐng)域，曲率幾乎決定著一切 AMM 產(chǎn)品特征，曲率甚至可以改變一個新幣種的主市場定價問題。