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注：本文作者是Gauntlet創(chuàng)始人Tarun Chitra、placeholder研究員Alex Evans以及斯坦福電氣工程博士Guillermo Angeris，原文標(biāo)題為《Can one hear the shape of a CFMM?》

（顯然，人們很難聽出鼓的形狀（Marc Kac，1966），那 CFMM呢？）

2019年Uniswap的崛起是DeFi交易的分水嶺。Uniswap的簡潔性、gas效率以及性能，使其迅速成為鏈上交易的主要場所。而今年初推出的Curve則表明，即使是對(duì)恒定函數(shù)做市商（CFMM）的設(shè)計(jì)進(jìn)行微小改變，也可以大幅提高資本效率及表現(xiàn)。特別是，Curve開創(chuàng)了局部更平滑的曲線，它為穩(wěn)定幣之間的交易提供了較低的滑點(diǎn)。這一調(diào)整使得Curve能夠捕獲到大量的交易量，同時(shí)又能在常規(guī)情況下超越現(xiàn)有中心化交易所和場外交易平臺(tái)。由于Curve的成功，曲率越來越被認(rèn)為是CFMM設(shè)計(jì)空間的組成部分。然而，曲率的選擇對(duì)市場行為的確切影響，尚沒有得到深入的研究。

在這一系列的文章中，我們開始提出CFMM曲率形狀的概念。我們討論了曲率選擇對(duì)均衡價(jià)格、穩(wěn)定性、流動(dòng)性提供者（LP）回報(bào)以及市場微觀結(jié)構(gòu)的影響。這些文章的觀點(diǎn)，來自我們接下來會(huì)發(fā)布的論文《狗尾巴什么時(shí)候搖？曲率與做市》。我們會(huì)在該系列文章的第三篇發(fā)布時(shí)，同時(shí)發(fā)表這篇論文。

在第一篇文章中，我們將提供曲率的一個(gè)定義，并討論其對(duì)流動(dòng)性和價(jià)格穩(wěn)定性的影響。

2020年的夏天改變了CFMM的面貌。很大程度上因?yàn)槭找孓r(nóng)耕（yield farming）活動(dòng)的影響，CFMM市場越來越成為各種資產(chǎn)對(duì)最具流動(dòng)性的市場。這就需要一個(gè)新的分析框架來研究這些市場。我們發(fā)現(xiàn)曲率為研究CFMM主導(dǎo)市場提供了缺失的環(huán)節(jié)。當(dāng)CFMM成為最具流動(dòng)性的交易場所時(shí)，其他交易場所大多會(huì)根據(jù)CFMM的價(jià)格進(jìn)行調(diào)整。我們框架的第一步，是了解流動(dòng)性有限的場所如何相互影響。

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兩種市場模型

假設(shè)有兩個(gè)交易場所可以交易給定的一個(gè)資產(chǎn)對(duì)。而其中一個(gè)交易場所的流動(dòng)性要比另一個(gè)更高。那我們?nèi)绾文Ｐ突鲃?dòng)性的差異？一個(gè)簡單的練習(xí)就是觀察固定規(guī)模交易的影響，如果相同規(guī)模的交易導(dǎo)致一個(gè)市場的價(jià)格變化大于另一個(gè)市場，我們就可以粗略地判斷說“前者的流動(dòng)性較低”。

在CFMM的例子中，這個(gè)簡單的模型具有令人驚訝的描述性。CFMM為每一個(gè)資產(chǎn)對(duì)都實(shí)現(xiàn)了一個(gè)特定的曲線，允許我們精確地描述給定交易的影響，這就是曲率的來源。非正式地說，曲率描述了CFMM在一筆小型交易后報(bào)告的價(jià)格絕對(duì)變化。

在其他條件相同的情況下，存儲(chǔ)資金量較高的CFMM將表現(xiàn)出較低的曲率。然而，對(duì)于給定的存儲(chǔ)資金值，一些CFMM的曲率要比其他的要低。通過比較Uniswap和Curve，我們就可以看出差異。從存儲(chǔ)量相等的點(diǎn)開始，從下圖可以看出，Uniswap在點(diǎn)x = y = 5處具有比Curve更高的曲率。

如我們所見，曲率為給定市場的流動(dòng)性提供了一個(gè)優(yōu)雅的模型。市場的曲率越低，給定交易的價(jià)格影響就越小。

大多數(shù)CFMM模型都假設(shè)流動(dòng)性有限的CFMM和流動(dòng)性無限的“參考”市場。這些模型表明，在相當(dāng)普遍的條件下，CFMM的價(jià)格將由套利者進(jìn)行調(diào)整，以反映參考市場的價(jià)格。這些模型在實(shí)踐中表現(xiàn)良好，因?yàn)閁niswap與其他交易場所的套利問題通常是凸性的，所以套利者可以輕松地弄清楚如何調(diào)整準(zhǔn)備金以反映當(dāng)前的市場價(jià)格。

該理論鞏固了CFMM在各種鏈上應(yīng)用中作為價(jià)格預(yù)言機(jī)的使用（例如Uniswap v2預(yù)言機(jī)）。然而，在經(jīng)歷了2020年夏季CFMM的繁榮之后，我們需要一個(gè)能夠更好地捕捉CFMM驅(qū)動(dòng)市場現(xiàn)實(shí)的模型。

要做到這一點(diǎn)，請翻轉(zhuǎn)劇本。假設(shè)我們有一個(gè)高流動(dòng)性（低曲率）的CFMM和一個(gè)流動(dòng)性較?。ǜ咔剩┑膮⒖际袌?。參考市場可以基于CFMM、訂單簿、報(bào)價(jià)請求系統(tǒng)、拍賣或任何組合。市場的選擇不會(huì)影響模型，只要它具有非零曲率（有限的流動(dòng)性）即可。如果兩個(gè)市場的價(jià)格不同，套利者可以通過在每個(gè)市場進(jìn)行抵消交易來獲利，直到兩個(gè)市場報(bào)告的價(jià)格一致為止。

如果兩個(gè)市場的流動(dòng)性相等，我們預(yù)計(jì)由此產(chǎn)生的無套利價(jià)格將介于兩個(gè)市場的交易前價(jià)格之間。然而，如果CFMM流動(dòng)性更強(qiáng)，最終價(jià)格將更接近于CFMM套利前的報(bào)價(jià)。換句話說，如果CFMM的流動(dòng)性明顯高于參考市場，那么參考市場價(jià)格的變化，對(duì)無套利價(jià)格的影響較小。

要了解這一點(diǎn)，請考慮下面的示例。我們有一個(gè)60:40的Balancer 池以及一個(gè)Uniswap池。對(duì)于同樣價(jià)值的儲(chǔ)備資金，Uniswap池的的曲率會(huì)略低。為了強(qiáng)調(diào)差異，我們就假設(shè)Uniswap池稍大一些。在下圖中，Balancer和Uniswap上的報(bào)價(jià)從不同的點(diǎn)開始（它們的切線斜率不同）。套利者在一個(gè)市場買入，在另一個(gè)市場賣出，直到兩條切線的斜率相等。請注意，Balancer的價(jià)格變化要比Uniswap池子的價(jià)格變化更大，但差別并不是很大。這是因?yàn)檫@兩個(gè)市場的曲率實(shí)際上相當(dāng)接近，盡管Uniswap市場的儲(chǔ)備更高，權(quán)重也稍為均衡。

Uniswap和Balancer之間的套利

然后我們將對(duì)比對(duì)象換成一個(gè)Uniswap池，以及一個(gè)Curve池，它們具有大致相等的儲(chǔ)備資金。在這種情況下，Curve的價(jià)格幾乎沒有變動(dòng)，而Uniswap的價(jià)格調(diào)整則較大。

Uniswap和Curve之間的套利

當(dāng)交易的資產(chǎn)對(duì)價(jià)格大致相等時(shí)，Curve的曲率要比Uniswap低得多。這意味著，即使流動(dòng)性較小場所的價(jià)格波動(dòng)很大，最終價(jià)格也不會(huì)與Curve的報(bào)價(jià)相差太大。注意，這種套利在實(shí)踐中極為普遍。以太坊上的套利機(jī)器人不斷在Balancer、Uniwap、Curve池以及基于訂單簿的交易所中調(diào)整價(jià)格。在我們即將發(fā)表的論文中，我們通過數(shù)學(xué)方法確定了這種效應(yīng)。

如果CFMM相對(duì)于參考市場具有更高的流動(dòng)性，那么即使參考市場價(jià)格出現(xiàn)較大偏差，對(duì)無套利價(jià)格的影響也將是最小的。

我們證明，只要價(jià)格跳躍是由某個(gè)（潛在的大）常數(shù)所限制，這一點(diǎn)就成立了。這一假設(shè)排除了極端情況，例如穩(wěn)定幣錨定完全脫鉤。最后，在腳注0和腳注1，我們概述了在正式描述曲率時(shí)需要考慮的一些技術(shù)和數(shù)學(xué)方面的考慮。

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sUSD的奇特案例

我們已經(jīng)看到，低曲率的CFMM可以“將自己的意愿”強(qiáng)加給更廣的市場。這也有助于解釋另一個(gè)現(xiàn)象：價(jià)格穩(wěn)定。從2020年3月開始，Synthetix宣布將激勵(lì)Curve上sUSD的流動(dòng)性，以更好地支持sUSD錨定匯率。

在Curve上創(chuàng)建這個(gè)sUSD池子對(duì)錨定產(chǎn)生了近乎直接的影響：sUSD開始更加密切地追蹤其他穩(wěn)定幣的價(jià)格。下面，我們展示了從2019年末到2020年9月在Uniswap上sUSD的價(jià)格。這個(gè)sUSD池子于2020年3月中旬正式啟動(dòng)（在安全事件發(fā)生后不久重啟）。

從2020年3月底到6月初，sUSD在Uniswap上的價(jià)格很好地錨定了。我們預(yù)計(jì)，Curve和Uniswap之間的套利促成了這一效應(yīng)：只要sUSD在錨定匯率附近的價(jià)格波動(dòng)是有界的，套利者就會(huì)被激勵(lì)，使Uniswap的價(jià)格與Curve的價(jià)格保持一致。

請注意，sUSD在除Curve之外的所有其他市場都缺乏流動(dòng)性，這導(dǎo)致Curve和所有其他市場之間的曲率差非常大。

同時(shí)，這些數(shù)據(jù)也顯示了我們的兩種市場模型的局限性。在6月份的第二周，sUSD開始更加頻繁地脫鉤。這種新的情況幾乎與2020年6月收益農(nóng)耕的出現(xiàn)完全吻合。2020年6月上旬至中旬，Compound和Balancer啟動(dòng)了第一個(gè)流動(dòng)性挖礦計(jì)劃。

SNX（sUSD的主要抵押品）的價(jià)格開始出現(xiàn)拐點(diǎn)，在6月份上漲了兩倍多，并在整個(gè)夏季繼續(xù)上漲。其他DeFi項(xiàng)目也啟動(dòng)了流動(dòng)性挖礦，而穩(wěn)定幣是大多數(shù)流動(dòng)性挖礦策略的核心。

結(jié)果是，幾乎所有的穩(wěn)定幣因收益農(nóng)耕的需求而增加了波動(dòng)性。顯然，我們的雙市場模型并沒有捕捉到這些因素。因此，我們需要將模型擴(kuò)展到包括收益農(nóng)耕及其與曲率的相互作用。我們將在之后的文章中討論這一擴(kuò)展。

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曲率的代價(jià)

低曲率是要進(jìn)行權(quán)衡的，如果CFMM的曲率為零，則CFMM的報(bào)價(jià)不會(huì)發(fā)生變化，而無論交易量是多少。因此，恒定和曲線（如mStable）為CFMM可持有的每個(gè)穩(wěn)定幣設(shè)置了界限，以防止LP完全持有表現(xiàn)最差的資產(chǎn)。

當(dāng)資產(chǎn)高度相關(guān)且均值回復(fù)時(shí)，低曲率CFMM表現(xiàn)更好。在這種環(huán)境下，CFMM能夠通過較低的曲率吸引更多的交易量和費(fèi)用，而均值回歸則調(diào)節(jié)了無常損失的影響。穩(wěn)定幣與穩(wěn)定幣CFMM現(xiàn)在基本上遵循這一原則，對(duì)于債券等到期資產(chǎn)，CFMM也是如此。在下一篇文章中，我們將討論在不對(duì)稱信息、均值回歸以及無常損失的情況下，LP的曲率權(quán)衡。

腳注：

[0] Curve和Uniswap的主要區(qū)別之一是，Curve的定價(jià)函數(shù)在價(jià)格-數(shù)量空間的某個(gè)區(qū)域內(nèi)“較平滑”，而在其他價(jià)格區(qū)域內(nèi)“較陡峭”。為什么人們更喜歡這種定價(jià)曲線變化的經(jīng)濟(jì)學(xué)直覺如下：

1. 我們有兩種資產(chǎn)，它們的價(jià)格（相對(duì)于另一種）是均值回復(fù)和低差額（例如，它們的價(jià)格通常是相等）的；

2. 將這些資產(chǎn)保持在彼此附近的交易（例如“軟”錨定）應(yīng)該是便宜的，因?yàn)樗鼈児膭?lì)套利者實(shí)施錨定。這是通過使曲線變平來實(shí)現(xiàn)的，這樣可以降低交易者面臨的滑點(diǎn)和市場沖擊；

3. 然而，當(dāng)資產(chǎn)“脫鉤”時(shí)，交易者會(huì)面臨更高的滑點(diǎn)。這實(shí)際上是為了補(bǔ)償流動(dòng)性提供者偏離錨定，并確保他們不會(huì)退出流動(dòng)性，凍結(jié)市場；

與Uniswap對(duì)所有價(jià)格都有一個(gè)更統(tǒng)一的曲率水平不同，Curve適應(yīng)了預(yù)期在其上進(jìn)行交易的價(jià)格過程（例如均值回歸、有界方差）。這個(gè)例子表明，CFMM定價(jià)函數(shù)的選擇與交易的資產(chǎn)類型以及保持流動(dòng)性提供者滿意所需的激勵(lì)措施密切相關(guān)。

[1] 除了模糊不清的“更平滑”或“更陡峭”的概念，有沒有辦法使我們形式化？答案是肯定的，這要?dú)w功于卡爾·弗里德里?！じ咚?。在過去的幾個(gè)世紀(jì)中，數(shù)學(xué)家們通過分析和代數(shù)，來量化及分類幾何直覺（geometric intuitions）。分析和代數(shù)之間的主要聯(lián)系之一，來自固有曲率的概念。曲面的固有曲率表示曲面上的小三角形面積與平面上周長相同的三角形的面積之比。固有曲率的一個(gè)關(guān)鍵特征是，它不依賴于曲面的方向或參數(shù)化。例如，沙灘球在任何方向上旋轉(zhuǎn)任何角度時(shí)，其固有曲率都不會(huì)改變。我們可以將“固有”屬性更一般地定義為：

對(duì)于任何旋轉(zhuǎn)矩陣A和平移向量b，由f(Ax+b) = k定義的曲面與由 f(x) = k定義的曲面具有相同的曲率。

高斯的絕妙定理(Theorema Egregium)，是微分幾何學(xué)早期的關(guān)鍵成果之一，它表示隱式定義曲面的曲率（例如，f(x) = k的曲面）是固有的。

這與CFMM曲率的直觀概念有什么關(guān)系？回想一下，定義CFMM的等效方法是通過交易集，類似于其不變函數(shù)的epigraph。該集合的邊界是由常函數(shù)不變量定義的曲面。當(dāng)我們談到Curve 比Uniswap更平滑（曲率更低）時(shí)，我們提到的就是這個(gè)曲面的曲率。