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2021年剛剛結(jié)束，小毛的便利店整體銷量還不錯，年末盤點(diǎn)時發(fā)現(xiàn)由于某種熱銷飲料庫存大約缺少100箱，導(dǎo)致流失了部分營業(yè)額，因此小毛希望通過對歷史年份銷售數(shù)據(jù)的整理，對2022年進(jìn)貨量和銷售額進(jìn)行預(yù)測，合理制定2022年度購銷計劃，使2022年營業(yè)額邁向更高的臺階。小毛看著滿眼的銷售數(shù)據(jù)陷入了沉思……

在上面案例中，小毛的問題是通過歷史銷售數(shù)據(jù)來預(yù)測未來銷售數(shù)據(jù)，在統(tǒng)計學(xué)領(lǐng)域，可以使用時間序列分析來解答他的問題。時間序列簡單的說就是各時間點(diǎn)上形成的數(shù)值序列，通過觀察歷史數(shù)據(jù)的變化規(guī)律預(yù)測未來的值。在這里需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)的是，時間序列分析并不是關(guān)于時間的回歸，它主要是研究自身的變化規(guī)律的。接下來，筆者就跟你淺談一下時間序列分析。

01 時間序列分析的定義

1.1 概念

首先，時間序列定義為在一定時間間隔內(nèi)按時間順序測量的某個數(shù)量。時間序列分析是指將歷史數(shù)據(jù)分解為四部分來看——趨勢、周期、時期和不穩(wěn)定因素，然后綜合這些因素，提出預(yù)測。時間序列分為平穩(wěn)序列和非平穩(wěn)序列兩大類。平穩(wěn)序列是不存在趨勢只存在隨機(jī)性的序列，非平穩(wěn)序列則是包含趨勢、季節(jié)性和隨機(jī)性的序列。

從最廣泛的形式來說，時間序列分析是關(guān)于推斷過去一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)發(fā)生了什么，并試圖預(yù)測未來會發(fā)生什么。時間序列分析試圖了解過去并預(yù)測未來。

1.2 分類

通常，時間序列通常包含以下類型：

1、趨勢-趨勢是時間序列中一致的方向性運(yùn)動。這些趨勢將是確定性的或隨機(jī)的。時間序列在長時間內(nèi)呈現(xiàn)出來的長期上升或下降的變動；

2、季節(jié)性變化-許多時間序列都包含季節(jié)性變化。在代表業(yè)務(wù)銷售或氣候水平的系列中尤其如此。我們經(jīng)?？吹缴唐返募竟?jié)性變化，特別是那些與生長季節(jié)或年度溫度變化有關(guān)的商品（例如天然氣）。

3、序列依賴性-時間序列（尤其是金融序列）最重要的特征之一就是序列相關(guān)性。當(dāng)時間上相互靠近的時間序列觀測值傾向于相互關(guān)聯(lián)時，就會發(fā)生這種情況。

02 時間序列分析的步驟

時間序列預(yù)測的步驟是：

在開始平穩(wěn)性檢驗步驟之前，我首先想和大家分享的是平穩(wěn)性檢驗的目的。平穩(wěn)性檢驗為了確定沒有隨機(jī)趨勢或確定趨勢,否則將會產(chǎn)生“偽回歸”問題.偽回歸是說,有時數(shù)據(jù)的高度相關(guān)僅僅是因為二者同時隨時間有向上或向下的變動趨勢, 并沒有真正聯(lián)系.這樣數(shù)據(jù)中的趨勢項,季節(jié)項等無法消除, 從而在殘差分析中無法準(zhǔn)確進(jìn)行分析。

2.1 平穩(wěn)性檢驗

（一）圖示法

平穩(wěn)性指的是期望不變，方差恒定，協(xié)方差不隨時間改變，協(xié)方差只依賴于K這個時間跨度，不依賴于時間點(diǎn)t本身。

給定這些假設(shè)前提的目的是便于后續(xù)技術(shù)上的處理。根據(jù)時序圖粗略來判斷序列是否平穩(wěn)，平穩(wěn)時序圖的特征為圍繞均值不斷波動，而非平穩(wěn)時序圖表現(xiàn)為在不同時間段具有不同的均值。圖a為平穩(wěn)時序圖，圖b為非平穩(wěn)時序圖。

然而僅依靠圖像判斷時間序列的平穩(wěn)性，肯定是不精確的，因此需要進(jìn)行單位根檢驗（DF檢驗和ADF檢驗）進(jìn)一步判斷。

（二）單位根檢驗

1、DF檢驗

（原假設(shè) H0：序存在單位根 ，即參數(shù)δ=0）

檢驗時間序列的平穩(wěn)性，一般可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型：

對上式可通過進(jìn)行普通最小二乘法的t檢驗完成（t檢驗的原假設(shè)：H0：βj=0。即若P值<0.05，則拒絕原假設(shè)，證明δ≠0，序列平穩(wěn)。

2、ADF檢驗

因DF檢驗假設(shè)ut為白噪聲，序列為一階自回歸的模型，但實(shí)際上隨機(jī)干擾項并非為白噪聲序列，且序列并非為一階自回歸生成，因此用普通最小二乘法進(jìn)行估計的t統(tǒng)計量會受到無關(guān)參數(shù)的影響，導(dǎo)致DF檢驗無效。如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢，DF檢驗必須保證能夠剔除這種趨勢，否則時間趨勢的成分會進(jìn)入ut，導(dǎo)致ut非白噪聲序列，進(jìn)而偏離了最初的假設(shè)。因此形成了ADF檢驗。ADF檢驗是由下面3個模型完成：

其中t為時間變量，代表序列隨時間變化的趨勢。

模型的檢驗原理同DF檢驗，即t檢驗；檢驗順序為（3）、（2）、（1）；三個模型全部檢驗通過，才能證明該序列是平穩(wěn)時間序列。

2.2 時間序列常見的三種模型

序列通過平穩(wěn)性檢驗后，就可以建立時間序列模型了，當(dāng)序列不平穩(wěn)時，對序列進(jìn)行差分或者取對數(shù)處理。對時序數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，例如在R語言的“diff”函數(shù)可確定（P值<0.05，則拒絕原假設(shè)，序列不存在單位根，經(jīng)1階差分后，序列平穩(wěn)）。

對一個時間序列預(yù)處理后檢驗出該序列為平穩(wěn)時間序列說明該模型有提取信息的價值，就要進(jìn)行下一步的模型建立來擬合該模型然后做出預(yù)測。下面介紹擬合時間序列的三個重要模型。

（一）AR(p)模型

自回歸模型(Autoregressive model，簡稱AR模型)，用同一變數(shù)例如x的之前各期，亦即x1至xt-1來預(yù)測本期xt的表現(xiàn)，并假設(shè)它們?yōu)橐淮尉€性關(guān)系。因為這是從回歸分析中的線性回歸發(fā)展而來，只是不用x預(yù)測y，而是用x預(yù)測 x（自己）；所以叫做自回歸。

AR(p)模型簡記形式如下：

其中p為自回歸階數(shù)。Φ0=0稱為中心化AR(p)模型。p階自回歸模型的自相關(guān)系數(shù)拖尾，偏自相關(guān)系數(shù)p階截尾。

（二）MA(q)模型

MA模型(moving average model)移動平均模型，簡記形式如下：

其中q為移動平均的階數(shù)。q階移動平均模型自相關(guān)系數(shù)q階截尾，偏自相關(guān)系數(shù)拖尾。

（三）ARMA(p,q)模型

自回歸滑動平均模型(Autoregressive moving average model，簡稱：ARMA模型)。是研究時間序列的重要方法，由自回歸模型（簡稱AR模型）與移動平均模型（簡稱MA模型）為基礎(chǔ)“混合”構(gòu)成。它比AR模型法與MA模型法估計更精確，但其參數(shù)估算比較繁瑣。ARMA(p,q)模型簡記形式如下：

當(dāng)q=0時，ARMA(p,q)模型就退化成了AR(p)模型；

當(dāng)p=0時，ARMA(p,q)模型就退化成了MA(q)模型；

ARMA(p,q)模型具有自相關(guān)系數(shù)不截尾，偏自相關(guān)系數(shù)也不截尾的性質(zhì)。

2.3 模型的選擇與定階

了解了時間序列的三種常見模型后，應(yīng)該如何選擇模型并確定模型的階數(shù)呢？通常使用ACF與PACF圖判定法。

說到時間序列分析，一定離不開自相關(guān)函數(shù)(auto-correlation function，ACF)和偏自相關(guān)函數(shù)(Partial auto-correlation function，PACF)，ACF可以提供具有滯后值的任何序列的自相關(guān)值。簡單來說，它描述了該序列的當(dāng)前值與其過去的值之間的相關(guān)程度。時間序列可以包含趨勢，季節(jié)性，周期性和殘差等成分。ACF在尋找相關(guān)性時會考慮所有這些成分。直觀上來說，ACF 描述了一個觀測值和另一個觀測值之間的自相關(guān)，包括直接和間接的相關(guān)性信息。

PACF可以提供殘差（在去除了之前的滯后已經(jīng)解釋的影響之后仍然存在）與下一個滯后值的相關(guān)性。因此，如果殘差中有任何可以由下一個滯后建模的隱藏信息，我們可能會獲得良好的相關(guān)性，并且在建模時我們會將下一個滯后作為特征。

討論完兩個重要函數(shù)后，就成功了一半，接下來就是選擇模型和確定階數(shù)了，由此引入兩個詞：截尾和拖尾。截尾是指時間序列的自相關(guān)函數(shù)（ACF）或偏自相關(guān)函數(shù)（PACF）在大于某個常數(shù)k后快速趨于0為k階截尾；拖尾是ACF或PACF始終有非零取值，不會在k大于某個常數(shù)后就恒等于零(或在0附近隨機(jī)波動)。趨于0在實(shí)際分析過程中通常被處理為在2倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。

以上面兩張圖為例，ACF拖尾，PACF一階截尾，因此可以選擇AR(1)模型進(jìn)行擬合，說到模型擬合，各位統(tǒng)計學(xué)前輩早已為我們總結(jié)好以下規(guī)律：

2.4 模型的確定與檢驗

通過以上內(nèi)容，大家對時間序列的三種模型有了初步了解。那么應(yīng)該如何確定最優(yōu)模型呢？通常有以下幾點(diǎn)：

（1）同一種模型，在盡可能描述數(shù)據(jù)信息的前提下選擇低階模型，階數(shù)越高，模型會越復(fù)雜

（2）高階AR(p)、MA(q)模型與較低階ARMA(p,q)模型之間選擇較低階ARMA(p,q)模型

（3）合適模型的殘差應(yīng)滿足均值為零的正態(tài)分布，而且任何滯后階數(shù)的殘差相關(guān)系數(shù)都為零。

接下來分享的是殘差檢驗的方法：

方法一：通過繪制正態(tài)分布的QQ來檢驗：圖像近似為過原點(diǎn)的一條直線，則殘差服從正態(tài)分布且均值為零。該步驟可通過R語言的“qqnormt”函數(shù)實(shí)現(xiàn)。如下圖：

方法二：通過R語言的“Box.test”函數(shù)實(shí)現(xiàn)該檢驗，若P>0.05，接受原假設(shè)，即任何滯后階數(shù)的殘差都不相關(guān)，殘差檢驗通過。

03 示例分享

回到開頭的例子，當(dāng)小毛同學(xué)拿到數(shù)據(jù)后首先應(yīng)該繪制銷售額隨時間變化的曲線，觀察數(shù)據(jù)的整體趨勢，如果有季節(jié)性趨勢，應(yīng)該利用差分或者移動平均的方法消除季節(jié)因素，接下來在消除增長趨勢，然后利用單位根檢驗來檢驗數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性，最后利用數(shù)據(jù)的ACF和PACF函數(shù)確定階數(shù)和模型。其實(shí)在這一步有一種偷懶的辦法就是利用R語言中的auto.arima”函數(shù)可自動篩選出p，q，但還是希望大家能夠了解背后的邏輯。模型確定好之后可以利用R語言中的forecast函數(shù)預(yù)測未來N期的銷量，至此小毛的預(yù)測工作終于可以告一段落了。