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哈嘍，大家好，我是可樂(lè)

總結(jié)了一些常見(jiàn)的概率與統(tǒng)計(jì)類(lèi)的數(shù)據(jù)分析面試題，不定期更新……

一、隨機(jī)變量的含義

一個(gè)隨機(jī)事件的所有可能的值X，且每個(gè)可能值X都有確定的概率P，X就是P(X)的隨機(jī)變量。比如擲骰子中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)

二、隨機(jī)變量和隨機(jī)試驗(yàn)間有什么關(guān)系

1、隨機(jī)試驗(yàn)：相同條件下對(duì)某隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的大量重復(fù)觀(guān)測(cè)的試驗(yàn)，如擲硬幣100次統(tǒng)計(jì)正面朝上的次數(shù)

2、隨機(jī)變量：是用來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的。

三、劃分連續(xù)型隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量的依據(jù)

1、離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X能被一一列舉出來(lái)，如一批產(chǎn)品中次品的數(shù)量，某地區(qū)人口的出生數(shù)等。

2、連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量X不能被一一列舉出來(lái)，如一批電子元器件的壽命，身高、體重等。

所以劃分二者的依據(jù)是隨機(jī)變量是否可數(shù)

四、變量獨(dú)立和不相關(guān)的區(qū)別

若X和Y不相關(guān)，通常認(rèn)為X和Y之間是沒(méi)有線(xiàn)性關(guān)系，但不排除沒(méi)有其他關(guān)系

若X和Y獨(dú)立，是沒(méi)有關(guān)系，互不干擾

因此，“不相關(guān)”是一個(gè)比“獨(dú)立”要弱的概念

五、常見(jiàn)分布的分布函數(shù)/概率密度函數(shù)，以及分布的特性。

分別從離散型和連續(xù)型兩方面說(shuō)：

1、離散型隨機(jī)變量的分布

（1）二項(xiàng)分布

進(jìn)行一系列獨(dú)立試驗(yàn) -> 每一次試驗(yàn)都存在成功和失敗的可能，且成功的概率相同 -> 試驗(yàn)次數(shù)有限。

二項(xiàng)分布記做X~B(n,p)，X表示n次試驗(yàn)中的成功次數(shù),我們要求的是成功的次數(shù)

（2）伯努利分布

0-1分布，每次試驗(yàn)的結(jié)果只有2種，是n=1的二項(xiàng)分布的特殊情況

如擲硬幣，只有正面朝上或反面朝上兩種情況

（3）幾何分布

獨(dú)立試驗(yàn)->拿到一種卡片的概率相同->為了集齊卡片要進(jìn)行多少次試驗(yàn)

（4）泊松分布

單獨(dú)事件在給定區(qū)間內(nèi)隨機(jī)、獨(dú)立地發(fā)生（給定區(qū)間可以是時(shí)間或空間） ->  已知該區(qū)間內(nèi)的事件平均發(fā)生次數(shù)，且為有限數(shù)值。

如某加油站，平均每小時(shí)來(lái)加油的車(chē)輛為10輛，泊松分布求的這個(gè)加油站每小時(shí)前來(lái)加油的車(chē)輛次數(shù)的概率

關(guān)于離散型隨機(jī)變量分布可參考：

離散型隨機(jī)變量的概率分布

2、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

（1）正態(tài)分布

又叫高斯分布，正態(tài)分布通過(guò)參數(shù)平均值和方差確定

（2）均勻分布

也叫矩形分布，概率密度函數(shù)的結(jié)果是一個(gè)固定的數(shù)值

均勻分布在自然情況下極為罕見(jiàn)，它的概率密度函數(shù)為：

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（3）指數(shù)分布

指數(shù)分布是描述泊松過(guò)程中的事件之間的時(shí)間的概率分布，即事件以恒定平均速率連續(xù)且獨(dú)立地發(fā)生的過(guò)程。如旅客進(jìn)機(jī)場(chǎng)的時(shí)間間隔，還有許多電子產(chǎn)品的壽命分布一般服從指數(shù)分布。

其概率密度函數(shù)為：

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指數(shù)分布具有無(wú)記憶的關(guān)鍵性質(zhì)。這表示如果一個(gè)隨機(jī)變量呈指數(shù)分布，當(dāng)s,t>0時(shí)有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的壽命，已知元件使用了t小時(shí)，它總共使用至少s+t小時(shí)的條件概率，與從開(kāi)始使用時(shí)算起它使用至少s小時(shí)的概率相等。

關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，可參考：

終于搞清楚正態(tài)分布、指數(shù)分布到底是啥了！

六、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的區(qū)別

1、協(xié)方差

只表示相關(guān)的方向

衡量?jī)蓚€(gè)變量的總體誤差，方差是協(xié)方差的特殊情況，即當(dāng)兩個(gè)變量是相同的情況。

如果兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)一致，也就是說(shuō)如果其中一個(gè)大于自身的期望值，另外一個(gè)也大于自身的期望值，那么兩個(gè)變量之間的協(xié)方差就是正值（你變大，我也變大，協(xié)方差就是正的）。如果兩個(gè)變量的變化趨勢(shì)相反，即其中一個(gè)大于自身的期望值，另外一個(gè)卻小于自身的期望值，那么兩個(gè)變量之間的協(xié)方差就是負(fù)值。

也就是說(shuō)，協(xié)方差為正，表示兩個(gè)變量同變化，為負(fù)，不同變化

并且協(xié)方差的絕對(duì)值不反映線(xiàn)性相關(guān)的程度（其絕對(duì)值與變量的取值范圍有關(guān)系）

但是嘞協(xié)方差為0的兩個(gè)隨機(jī)變量是不相關(guān)的

2、相關(guān)系數(shù)

不僅表示線(xiàn)性相關(guān)的方向，還能衡量其相關(guān)程度

研究變量之間線(xiàn)性相關(guān)程度的量，取值范圍是[-1,1]。

相關(guān)系數(shù)也可以看成協(xié)方差：一種剔除了兩個(gè)變量量綱影響、標(biāo)準(zhǔn)化后的特殊協(xié)方差。

七、中位數(shù)是否等于期望

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中位數(shù)等于期望
右偏（正偏）態(tài)時(shí)，中位數(shù)小于期望
左偏（負(fù)偏）態(tài)時(shí)，中位數(shù)大于期望

八、正態(tài)分布的基本特征是什么

正態(tài)分布又叫高斯分布，是一個(gè)鐘形曲線(xiàn)，曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，中央部分的概率密度最大，越往兩邊，概率密度越小。μ決定了曲線(xiàn)的中央位置，σ決定了曲線(xiàn)的分散性，σ越大，曲線(xiàn)越平緩，σ越小，曲線(xiàn)越陡峭。

很多實(shí)際問(wèn)題都是符合正態(tài)分布的，如身高、體重等。正態(tài)分布在質(zhì)量管理中也應(yīng)用的非常廣泛，“3σ原則”就是在正態(tài)分布的原理上建立的。
3σ原則是：

1、數(shù)值分布在（μ—σ,μ+σ)中的概率為0.6826

2、數(shù)值分布在（μ—2σ,μ+2σ)中的概率為0.9544

3、數(shù)值分布在（μ—3σ,μ+3σ)中的概率為0.9974
因此可以認(rèn)為,Y 的取值幾乎全部集中在（μ—3σ,μ+3σ)]區(qū)間內(nèi),超出這個(gè)范圍的可能性?xún)H占不到0.3%，這是一個(gè)小概率事件，通常在一次試驗(yàn)中是不會(huì)發(fā)生的，一旦發(fā)生就可以認(rèn)為質(zhì)量出現(xiàn)了異常。

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九、什么是大數(shù)定律

在隨機(jī)事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律就是大數(shù)定律。通俗地說(shuō)，這個(gè)定理就是，在試驗(yàn)不變的條件下，重復(fù)試驗(yàn)多次，隨機(jī)事件的頻率近似于它的概率。偶然中包含著某種必然。

在重復(fù)投擲一枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，觀(guān)測(cè)投擲了n次硬幣中出現(xiàn)正面的次數(shù)。不同的n次試驗(yàn)，出現(xiàn)正面的頻率可能不同，但當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n越來(lái)越大時(shí)，出現(xiàn)正面的頻率將大體上逐漸接近于1/2。這就是大數(shù)定律。

十、什么是中心極限定理

假設(shè)一組隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布，當(dāng)n足夠大時(shí)，均值的分布接近于正態(tài)分布

中心極限定理作用：
（1）在沒(méi)有辦法得到總體全部數(shù)據(jù)的情況下，我們可以用樣本來(lái)估計(jì)總體。
（2）根據(jù)總體的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，判斷某個(gè)樣本是否屬于總體。

十一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想

小概率反證法。即為了檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)是否成立，我們先假設(shè)它成立，在原假設(shè)成立的前提下，如果出現(xiàn)了不合理的事件，則說(shuō)明樣本與總體的差異是顯著的，就拒絕原假設(shè)，如果沒(méi)有出現(xiàn)不合理的事件，就不拒絕原假設(shè)。

這里所述的不合理的事件指的就是小概率事件，通常情況下我們認(rèn)為一個(gè)小概率事件基本上不會(huì)發(fā)生，如果發(fā)生了，說(shuō)明它就不是一個(gè)小概率事件了，所以要拒絕原假設(shè)。

十二、假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類(lèi)錯(cuò)誤

第I類(lèi)錯(cuò)誤：棄真，原假設(shè)為真，卻被我們拒絕了。
第II類(lèi)錯(cuò)誤：取偽，原假設(shè)為假，卻沒(méi)被拒絕。

十三、如何平衡這兩類(lèi)錯(cuò)誤？

我們要盡可能地將犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率降到最低。但是，在樣本容量固定的前提下，減少犯第I類(lèi)錯(cuò)誤的概率，必然會(huì)增加犯第II類(lèi)錯(cuò)誤的概率，一般來(lái)說(shuō)，我們總是先控制犯第I類(lèi)錯(cuò)誤的概率，使它不大于顯著性水平。而犯第II類(lèi)錯(cuò)誤的概率依賴(lài)于樣本容量的大小，因此對(duì)樣本容量的選擇上，也要有所考量。

十四、解釋P值

P值：當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)，樣本觀(guān)察結(jié)果或更極端的結(jié)果出現(xiàn)的概率就是P值

十五、區(qū)分顯著性水平和置信區(qū)間

1、顯著性水平：希望在樣本結(jié)果的不可能程度達(dá)到多大時(shí)，就拒絕原假設(shè)，也就是小概率事件發(fā)生的概率。則是假設(shè)真值是多少，然后檢驗(yàn)這個(gè)假設(shè)是否可能為真。

2、置信區(qū)間，目的是根據(jù)樣本構(gòu)造一個(gè)區(qū)間，然后希望這個(gè)區(qū)間可以把真值包含進(jìn)去，但是并不知道這個(gè)真值是多少？

十六、什么是條件概率

P(A|B)=P(AB)/P(B)，條件概率P(A|B) 指在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率，P(B)是事件B發(fā)生的概率，其演化式可以得到：P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)

十七、全概率公式

假設(shè)事件B有兩種發(fā)生方式，與事件A一起發(fā)生；不與事件A一起發(fā)生，那么可以用下面的公式得到事件B發(fā)生的概率：

又由條件概率可以推導(dǎo)出：

代入得到：

全概率公式

這就是全概率公式，由條件概率計(jì)算一個(gè)特定事件的概率。

十八、貝葉斯公式

假如已知的條件概率是P(B|A)，那么貝葉斯公式則提供了一種計(jì)算逆條件概率的方法，也就是要求P(A|B)的概率。
首先條件概率：

剛剛也推導(dǎo)了

再將全概率公式P(B)代入，就得到：

貝葉斯公式

| 發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的案例

Q：一日某超市發(fā)生盜竊案，嫌疑人甲發(fā)生盜竊的可能性為10%，嫌疑人乙發(fā)生盜竊的可能性為90%，目擊者稱(chēng)盜竊者是甲，目擊者證言可信度為80%，那么現(xiàn)在請(qǐng)估算出目擊者證言的準(zhǔn)確度。

思路：

嫌疑人甲盜竊的概率為P(A)=10%
嫌疑人乙盜竊的概率為P(B)=P(A)=90% 

目擊者證言可信度的概率為P(C) 

在甲盜竊的前提下目擊者稱(chēng)盜竊者是甲的概率為P(C|A)=80% 

在甲盜竊的前提下目擊者稱(chēng)盜竊者不是甲的概率為P(C|A)=20%

現(xiàn)在要求的是P(A|C)也就是目擊者證言可信度準(zhǔn)確的前提下甲盜竊的概率。

我們要求的是一個(gè)條件概率P(A|C)，已知的一個(gè)條件概率P(C|A)剛好是要求的條件概率的逆概率，這里就要用到貝葉斯公式了。
P(A|C)=P(A)P(C|A)/(P(A)P(C|A)+P(A)P(C|A))
         =10%80% / 10%80%+ 90%*20%
         =30.77%

持續(xù)更新中......

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